Olimpiade Sains Nasional Matematika Tingkat SMA Tahun 2002

Soal 1. Buktikan bahwa n^4-n^2 habis dibagi 12 untuk sebarang bilangan bulat n>1.

Soal 2. Lima buah dadu (enam-muka) akan dilempar satu demi satu, lalu hasil kali kelima angka yang muncul akan dihitung. Manakah yang lebih besar peluang terjadinya hasil kali 180 atau hasil kali 144?

Soal 3. Tentukan semua solusi dari sistem persamaan

x+y+z=6
x^2+y^2+z^2=12
x^3+y^3+z^3=24

Soal 4. Diberikan segitiga ABC dengan AC>BC. Pada lingkaran luar segitiga ABC terletak titik D yang merupakan titik tengah busur AB yang memuat titik C. Misalkan E adalah titik pada AC sehingga DE tegak lurus pada AC. Buktikan bahwa

AE=EC+CB

Soal 5. Sembilan dari sepuluh bilangan berikut: 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 16, 18, 19; akan diisikan ke dalam petak kosong pada tabel 3 x 5 di bawah ini. Sesudah semua petak terisi, jumlah bilangan pada setiap baris akan sama. Demikian pula halnya jumlah bilangan pada setiap kolom akan sama. Tentukan semua pengisian petak yang mungkin.

Soal 6. Tentukan semua bilangan prima p yang membuat 4p^2+1 dan 6p^2+1 keduanya bilangan prima.

Soal 7. Misalkan ABCD sebuah belah ketupat dengan \angle A=60^{\circ} dan P adalah titik potong kedua diagonal AC dan BD. Misalkan Q,R,S adalah tiga titik pada keliling belah ketupat. Jika PQRS juga membentuk belah ketupat, tunjukkan bahwa tepat satu di antara Q,R,S berimpit dengan titik sudut belah ketupat ABCD.

Leave a Reply